Exercícios De Função Afim (Função Do 1º Grau – Toda Matéria – Exercícios De Função Afim (Função Do 1º Grau – Toda Matéria) oferece uma análise completa da função afim, também conhecida como função do primeiro grau. Exploraremos seus conceitos fundamentais, desde a fórmula geral e a interpretação gráfica até a resolução de problemas contextualizados. Dominar a função afim é crucial para o entendimento de diversos conceitos matemáticos posteriores, sendo essencial para estudantes do ensino médio e superior.
Abordaremos métodos para determinar a equação da reta, encontrar zeros da função, calcular imagens e pré-imagens, além de aplicar esses conhecimentos em problemas práticos relacionados a áreas como custos de produção, movimento uniforme e crescimento populacional. Através de exemplos detalhados e passo a passo, o objetivo é proporcionar uma compreensão sólida e aplicável da função afim.
Conceitos Fundamentais da Função Afim
A função afim, também conhecida como função do primeiro grau, é um conceito fundamental na matemática e possui diversas aplicações em áreas como física, economia e engenharia. Seu estudo permite modelar situações reais onde existe uma relação linear entre duas variáveis. Compreender seus elementos constituintes e seu comportamento gráfico é crucial para sua aplicação eficaz.
Fórmula Geral da Função Afim e seus Componentes
A fórmula geral da função afim é representada por:
f(x) = ax + b
, onde: ‘x’ representa a variável independente, ‘f(x)’ representa a variável dependente (o valor da função para um dado x), ‘a’ é o coeficiente angular, e ‘b’ é o coeficiente linear. O coeficiente angular (a) indica a inclinação da reta que representa a função no plano cartesiano. Um valor de ‘a’ positivo indica uma reta crescente, enquanto um valor negativo indica uma reta decrescente.
Já o coeficiente linear (b) representa o ponto onde a reta intercepta o eixo y (o valor de f(x) quando x=0).
Representação Gráfica da Função Afim
A função afim é sempre representada graficamente por uma reta. O coeficiente angular (a) determina a inclinação dessa reta: quanto maior o valor absoluto de ‘a’, maior a inclinação. Um coeficiente angular positivo indica uma reta que cresce da esquerda para a direita, enquanto um coeficiente angular negativo indica uma reta que decresce da esquerda para a direita. O coeficiente linear (b) indica o ponto de intersecção da reta com o eixo y.
Por exemplo, na função f(x) = 2x + 3, a reta interceptará o eixo y no ponto (0, 3), e sua inclinação será positiva e relativamente acentuada devido ao coeficiente angular 2.
Funções Afins Crescentes e Decrescentes
Funções afins são classificadas como crescentes ou decrescentes com base no valor do coeficiente angular (a). Uma função afim é crescente se, e somente se, seu coeficiente angular (a) for positivo (a > 0). Neste caso, à medida que o valor de x aumenta, o valor de f(x) também aumenta. Uma função afim é decrescente se, e somente se, seu coeficiente angular (a) for negativo (a < 0). Neste caso, à medida que o valor de x aumenta, o valor de f(x) diminui.
| Tipo de Função | Coeficiente Angular (a) | Coeficiente Linear (b) | Gráfico (descrição do comportamento) |
|---|---|---|---|
| Crescente | a > 0 | Qualquer valor real | Reta ascendente da esquerda para a direita. Exemplo: f(x) = 2x + 1 (reta com inclinação positiva, interceptando o eixo y em 1). |
| Decrescente | a < 0 | Qualquer valor real | Reta descendente da esquerda para a direita. Exemplo: f(x) = -x + 4 (reta com inclinação negativa, interceptando o eixo y em 4). |
| Constante (caso particular) | a = 0 | Qualquer valor real | Reta horizontal paralela ao eixo x. Exemplo: f(x) = 5 (reta horizontal interceptando o eixo y em 5). Note que esta é uma função constante, um caso particular da função afim. |
| Crescente | a = 1/2 | b = -3 | Reta ascendente com inclinação menos acentuada que f(x) = 2x +1, interceptando o eixo y em -3. |
Resolução de Problemas com Funções Afins
A resolução de problemas envolvendo funções afins requer a compreensão de seus elementos constitutivos e a aplicação de métodos algébricos e geométricos.
Nesta seção, abordaremos técnicas para determinar a equação da reta a partir de informações fornecidas, encontrar o zero da função e sua representação gráfica, além de calcular imagens e pré-imagens.
Determinação da Equação da Reta a Partir de Dois Pontos
Para determinar a equação de uma reta, y = mx + b, onde ‘m’ é o coeficiente angular (inclinação) e ‘b’ é o coeficiente linear (interseção com o eixo y), precisamos de pelo menos dois pontos que pertencem a essa reta. O coeficiente angular é calculado pela razão entre a diferença das ordenadas e a diferença das abscissas desses dois pontos.
O coeficiente linear pode ser encontrado substituindo um dos pontos na equação da reta e resolvendo para ‘b’.Passo a passo:
1. Encontrar o coeficiente angular (m)
Dados dois pontos (x₁, y₁) e (x₂, y₂), o coeficiente angular é dado por:
m = (y₂
- y₁) / (x₂
- x₁)
2. Encontrar o coeficiente linear (b)
Substitua o valor de ‘m’ e as coordenadas de um dos pontos (x₁, y₁) na equação da reta:
y = mx + b
Resolva a equação para ‘b’.
3. Escrever a equação da reta
Substitua os valores de ‘m’ e ‘b’ na equação geral da reta:
y = mx + b
Exemplo: Encontre a equação da reta que passa pelos pontos (2, 5) e (4, 9).
- m = (9 – 5) / (4 – 2) = 4 / 2 = 2
- Substituindo o ponto (2, 5) e m = 2 na equação y = mx + b: 5 = 2(2) + b => b = 1
3. A equação da reta é
y = 2x + 1
Encontrando o Zero da Função Afim e sua Interpretação Geométrica, Exercícios De Função Afim (Função Do 1º Grau – Toda Matéria
O zero da função afim é o valor de ‘x’ para o qual y = 0. Geometricamente, representa o ponto onde a reta intercepta o eixo x. Para encontrá-lo, basta igualar a expressão da função afim a zero e resolver a equação para x.Exemplo: Encontre o zero da função afim y = 3x – 6 e represente-o graficamente.Igualando a zero: 0 = 3x – 6 => 3x = 6 => x = 2Graficamente, o zero da função (x = 2) é o ponto onde a reta y = 3x – 6 cruza o eixo x.
Imagine um gráfico cartesiano. A reta intercepta o eixo x no ponto (2,0).
Cálculo da Imagem e da Pré-imagem em uma Função Afim
A imagem de um valor ‘x’ em uma função afim é o valor de ‘y’ correspondente, obtido substituindo ‘x’ na equação da função. A pré-imagem de um valor ‘y’ é o valor de ‘x’ que resulta nesse ‘y’ quando substituído na equação da função.Exemplo: Dada a função afim y = 2x + 1, calcule:a) A imagem de x = 3: Substituindo x = 3 na equação, temos y = 2(3) + 1 = 7.
A imagem de 3 é 7.b) A pré-imagem de y = 9: Substituindo y = 9 na equação, temos 9 = 2x + 1 => 2x = 8 => x = 4. A pré-imagem de 9 é 4.
Aplicações da Função Afim em Problemas Contextualizados: Exercícios De Função Afim (Função Do 1º Grau – Toda Matéria
A função afim, representada pela equação y = mx + b, onde ‘m’ é o coeficiente angular e ‘b’ o coeficiente linear, é uma ferramenta poderosa para modelar diversas situações reais, permitindo a previsão e análise de comportamentos lineares. Sua aplicabilidade abrange áreas como economia, física e demografia, entre outras. Nesta seção, exploraremos exemplos concretos de como a função afim pode ser utilizada para resolver problemas contextualizados.
Custo de Produção
Um fabricante de móveis produz cadeiras. O custo fixo mensal da fábrica é de R$ 2.000,00 (aluguel, salários administrativos, etc.), e o custo de produção de cada cadeira é de R$ 50,
00. Podemos modelar o custo total (C) em função da quantidade de cadeiras produzidas (x) utilizando uma função afim
C(x) = 50x + 2000. Se a fábrica produzir 100 cadeiras em um mês, o custo total será C(100) = 50(100) + 2000 = R$ 7.000,00. Se a produção for de 200 cadeiras, o custo será C(200) = 50(200) + 2000 = R$ 12.000,00. Observe que o coeficiente angular (50) representa o custo unitário de produção, enquanto o coeficiente linear (2000) representa o custo fixo.
A função afim permite prever o custo total para qualquer nível de produção, facilitando o planejamento e a tomada de decisões.
Distância Percorrida por um Móvel
Um carro parte do repouso e se move com velocidade constante de 60 km/h. A distância percorrida (d) em função do tempo (t) em horas pode ser representada pela função afim: d(t) = 60t.
- Etapa 1: Definir a função afim. Neste caso, a velocidade constante de 60 km/h é o coeficiente angular, e como parte do repouso, o coeficiente linear é zero.
- Etapa 2: Calcular a distância percorrida após um determinado tempo. Por exemplo, após 2 horas de viagem, a distância percorrida será d(2) = 60(2) = 120 km.
- Etapa 3: Interpretar o resultado. A função afim mostra uma relação linear entre tempo e distância, indicando que a cada hora, o carro percorre 60 km.
Crescimento Populacional
A população de uma cidade cresce linearmente a uma taxa de 500 habitantes por ano. Em 2020, a população era de 10.000 habitantes. A função afim que representa a população (P) em função do ano (t), considerando t=0 como o ano de 2020, é: P(t) = 500t + 10000.A tabela abaixo mostra a população prevista para os próximos anos:
| Ano | População |
|---|---|
| 2020 | 10000 |
| 2021 | 10500 |
| 2022 | 11000 |
| 2023 | 11500 |
| 2024 | 12000 |
O estudo da função afim, como demonstrado nestes exercícios, revela sua importância como ferramenta para modelar situações reais e resolver problemas de diversas áreas. A compreensão dos conceitos fundamentais, aliada à prática na resolução de problemas contextualizados, capacita o aluno a aplicar este conhecimento em situações complexas. A capacidade de interpretar graficamente e algebricamente a função afim é crucial para o sucesso em matemática e em outras disciplinas científicas.